A grafia correta é tranquilo, sem o trema.
A palavra tranqüilo, com o trema, está incorreta porque está em desuso. Seu uso, portanto, acarretará em um erro de ortografia e deve ser evitado.
Frases com tranquilo de exemplo
- Estou tranquilo porque nada pode me desestabilizar.
- Fernando é um cara tranquilo, mas não aguentou as provocações e saiu.
Observação: a forma tranqüilo, com trema, passou a estar errada a partir do Novo Acordo Ortográfico da Língua Portuguesa, onde aboliu-se o uso do sinal de trema de todas as palavras.